Математический расчет заданной схемы.

 

При расчете схем на ОУ обычно вводят  понятие идеального операционного усилителя, который имеет следующие свойства:

 

1. бесконечно большой дифференциальный коэффициент усиления по напряжению K_U=DU_вых /D(U₁ - U₂) (у реальных ОУ от 1 тыс. до 100 млн.);
2. нулевое напряжение смещения нуля U_см, т.е. при равенстве входных напряжений выходное напряжение равно нулю (у реальных ОУ U_см, приведенное ко входу, находится в пределах от 5 мкВ до 50 мВ);
3. нулевые входные токи (у реальных ОУ от сотых долей пА до единиц мкА);
4. нулевое выходное сопротивление (у реальных маломощных ОУ от десятков Ом до единиц кОм);
5. коэффициент усиления синфазного сигнала равен нулю;
6. мгновенный отклик на изменение входных сигналов (у реальных ОУ время установления выходного напряжения от единиц наносекунд до сотен микросекунд).

 

Расчетная схема:

 

            

 

Находим комплексные сопротивления  Z₁ и  Z₂, в цепях ООС операционных усилителей:

 

                  по условию С1=С2   =>    ,   ,                       (1)

 

Напряжения на неинвертирующих входах ОУ, согласно свойству С идеального ОУ:

 

                                   ,                                         (2)

 

Для узла 2) по закону Кирхгофа и т. к входной ток идеального ОУ равен нулю

 

                                              ,

Вследствие свойства А) идеального операционного усилителя разность потенциалов между его входами равна нулю,  => Un2 = Up2 = Up  и, следовательно, для узла 2) имеем

 

                                          .

 

Подставив сюда значения Z₂ и Up из (1) и (2) найдем передаточную характеристику второго каскада на ОУ

 

               ,

 

              ,     ,

 

               ,

 

               ,                                                    (3)

 

               .

 

Аналогичным образом находим зависимость между Uвх и Uo :

               

                  ,

 

                   ,

 

                   .                                                                      (4)

                 

И теперь, подставив в (4) найденные ранее значения из (3), (2) и (1),  найдем передаточную функцию всей схемы:

 

       ,

 

 

       ,

 

 

            ,

 

 

            .

 

Первый множитель характеризует коэффициент передачи схемы на нулевой частоте k₀ (по постоянному току). При заданных R₆ = R₇ он будет равен двум. Второй множитель будет характеризовать частотные свойства схемы. При  R₆ = R₇, и R₁ = R₂ = R  имеем

 

 ,  т.о. передаточной

 

функцией заданного фильтра будет  колебательное звено, где

 

        а)       Т = RC  – постоянная времени передаточного звена, характеризующая частоту свободных колебаний звена (когда затухание отсутствует):

 

             здесь   ,

                     

       б)        – параметр затухания, лежащий в пределах 0< ξ < 1.

 

Найдем частотную передаточную функцию схемы W(jω):

 

,

 

Следовательно модуль – ,  здесь   k₀ = 2                   (5)

 

                               фаза – .                                                     (6)

 

Известно, что амплитудно-частотная характеристика колебательного звена может иметь резонансный пик.[2]

 

Исследуем АЧХ на экстремумы.

 

 

 

 

а) производная А(ω) по ω:

 

 

 

 

 .

 

б) ищем экстремумы:

 

,    или   

 

                                                .

 

Т.е при ω₂  АЧХ имеет резонансный пик. Область допустимых значений для ω₂ при

 

                                        1–2 ξ²  ≥ 0 , откуда ξ ≤ 0,707.

 

Итак исследование модуля частотной передаточной функции на максимум показывает, что пик будет существовать при  ξ < 0,707.

 

Подставив в (5) найденную частоту  ω₂ найдем зависимость АЧХ от параметра затухания:

 

                                         

 

Высота пика будет тем больше, чем меньше параметр затухания.

 

 

Рассчитаем амплитуды и резонансные частоты фильтра при изменении R₃.

 

 

а)  коэффициенты затухания:

 

   R = R₃ = 1,4 кОм, => ξ₁ = R₂ /2R₃ = 2,5/2,8 = 0,893;   ξ₁>0,707 => нет резонансного пика,

   R = 2R₃ = 2,8 кОм, => ξ₂ = R₂ /2R₃ = 2,5/5,6 = 0,4464,

   R = 4R₃ = 5,6 кОм, => ξ₃ = R₂ /2R₃ = 2,5/11,2 =  0,2232.

 

 

б)  амплитуда (дб):

 

 

, так как резонансный пик отсутствует,

 

,

 

.

 

 

в) резонансная частота, Гц:

 

  f₁ – нет резонансной частоты, схема реализует функцию ФНЧ,

 

,

 

.

 

 

Расчетные данные  полностью соответствуют модели фильтра в Electronics Workbench.

 

Контрольные  На главную

 

Литература, источники, программное обеспечение.

 

1. Расчет схем на ОУ: http://www.gaw.ru/html.cgi/txt/doc/op/index.htm
2. Теория систем автоматического управления /В.А.Бесекерский, Е.П. Попов. – Изд. 4-е, перераб. и доп. – СПб, Изд-во "Профессия", 2004. – 752 с. – (Серия: Специалист)
3. Программы: sPlan 5.0 (рус), VisSim 5.0c, Electronics Workbench 5.12c, Advanced Grapher 2.11(рус) (или здесь), Excel 2002 (10.6871.6870) SP3 (Office XP).